Нарадзіўся ў 1891 г. у Маскоўскай вобласці. Скончыў медыцынскі факультэт Маскоўскага ўніверсітэта. Удзельнічаў у Першай сусветнай вайне. У 1922 г. разам з вайсковай часцю прыбыў у Полацк, дзе і застаўся працаваць. З таго ж года ўзначальваў тэрапеўтычнае аддзяленне полацкай гарбальніцы. Пасля Вялікай Айчыннай вайны вярнуўся на папярэдняе месца працы. Яго артыкулы, у тым ліку і па гісторыі медыцыны, публікаваліся ў часопісах.
У ліку першых чатырох урачоў у 1941 г. Б. Бараўскаму было прысвоена званне "Заслужаны ўрач БССР". Узнагароджаны двума ордэнамі Леніна, ордэнам Чырвонай Зоркі, ганаровымі граматамі і падзякамі. Памёр у 1952 г. Пахаваны ў Полацку.
Калекцыю дакументаў і фотадакументаў Барыса Анатольевіча Бараўскага перадала ў музей у 1983 г. дачка Алена Барысаўна Бараўская.
